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数学哲学讲座4（已初步整理）
作者：玄易居士发表时间：2019-03-08 09:51:13 更新时间：2019-03-08 09:51:13

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数学哲学讲座
幻影思维学群（166302011）2013年2月21日晚7：00

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玄易居士
在前面，我们讲了数学的本质，今天，我们讲数学哲学最后一讲，讲一下数学的产生、建立的一般原则，以及数学发展的一般规律。
我们前面讲过，说数学的表现形态是多种多样的，但是无论何种形态的数学理论的建立，都要受到实践和思维两方面因素的约束，具体表现为三个方面
第一，数学理论是在解决实际问题的过程中产生的，伴生于具体问题之中
玄易居士
我在生活中会遇到各种各样的具体问题，并会用我们的思维去解决，而此每一问题解决方法相比较，思维过程的难度与复杂程度等不同，这样就产生了如何减轻人类负担的问题，于是，数学就伴生于其中，这是实践决定实现发展的体现。
举个例子来说，自然数的产生，就是基于计数的需要，古人结绳记事，慢慢产生了数的概念，分数的产生，也是因为自然数无法满足人们计数的需要，为了正精确地计数，所以产生了分数，对于几何学的产生，是古人为了量地、分地的需要，或许还有建筑的实践的需要、观测星象的需要，等等。微积分的产生，是因为牛顿力学计算的需要，当初创立微积分的有两个人，牛顿和莱布尼兹，他们独立创立了微积分，而且，他们的继承者还互不相让，于是英国人对于微积分的表示方法，和欧洲大陆的表示方法，有着很大的差别，其实，还是莱布尼兹的表示方法更简洁一些，所以我们现在所学的，就是从莱布尼兹的方法发展而来的。
除了直接的应用，也有因为研究数学二产生的纯粹的数学，比如，虚数的产生，就是纯理论推广而来，群理论的产生，就是为了解决一元五次方程问题二产生的，非欧几何的产生，就是为了证明第五公设问题的副产品，当然，非欧几何中的黎曼几何，后来称为广义相对论的数学工具，这是黎曼几何的创立者所没有想到的。
数学理论建立的第二个方面，就是数学理论的建立，要符合逻辑规则，符合逻辑规则，是思维因素所决定的，数学，只有符合逻辑规则，才能保证是正确的，才可以用于推理、用于解决实际问题，符合逻辑，这一条应该很好理解，不多说了。
第三，数学的本质思想史形式化，形式化可以使的数学能够摆脱具体问题的限制，使得数学越来越抽象，同时也扩大了数学的应用范围。举个例子来讲，我们数手指头、数苹果、数糖块，用的都是自然数，而不是用三种理论，我们不可能数手指头使用一套自然数理论，数苹果又使用另外一套自然数理论，自然数理论的形式化，使得我们摆脱了手指头、苹果或者糖块的限制，以不变应万变，一套自然数理论数万物，需要指出的是，数学的这种形式化，是有层次的，形式化的基础上，还可以进一步形式化。比如，我们的自然数理论是对数苹果数糖块的形式化，自然数理论有扩展为代数理论，为了解决代数理论中的一元五次方程问题，伽罗瓦又对代数进一步抽象、进一步形式化，于是产生了群理论
玄易居士
我们所学的代数理论，不过时伽罗瓦理论的一个特例而已，就好像，我们数苹果，不过时自然数理论的一个特例，我们所学的自然数理论、有理数理论、实数理论，也不过是伽罗瓦群理论的一个特例而已，这里说的是数学的形式化问题。
下面再说说数学发展的一般规律，我们前面说过完备性和纯粹性的概念，数学的发展，实际上就是完备性和纯粹性相互作用的结果，数学有没有到达完备性的那一天呢，哥德尔不完全性定理告诉我们，数学，无论怎样发展，总是不完备的，所以，数学理论的发展，也是无止境的。
数学不断发展的结果，总是使数学对象的范围越来越大，数学体系越来越完善，数学表现形式越来越简明，即数学表现形态越来越高级。事实上，数学对象、数学体系和数学表现形式分别可以作为衡量数学解放程数学数学度，数学发达程度和数学成熟的标准。
下面再说说数系的扩张，我们在幻影空间那一部分讲过扩张，在扩张的类型中，有一个理想扩张的的概念，我们当时说，自然数向整数的扩张，就是自然数关于加法运算的半理想扩张，正整数向分数的扩张，估计也是关于乘法运算的一种半理想扩张，没仔细考虑，不敢定论，数系在正整数向整数扩张的过程中，满足了减法运算的完备性，整数向分数的扩张，也是为了适应除法运算而扩张的，但是对于除法运算，出现了盲点，那就是0不能做除数，一旦出现了0做除数的情况，就会变得没有意义，如果在计算器中输入99除以0，马上就会出现e，错误。

这是我的电脑截图，要是手持计算器，估计会在最左端显示字母“e”。
如果在c++编程中，不小心出现了除数为0的情况，程序就会出现错误、崩溃、退出，为了解决0不能做除数的问题，昨天我们讲的那个有限无穷理论，就可以解决的，对于有限无穷的想法，昨天已经讲了很多，今天就不讲了。
在数学哲学中，还有一个颇有争议的问题，那就是数学的真理性：
第一，数学究竟是不是真理？
第二，数学是否真理，应该由什么标准来判定呢？
对于数学是不是真理，有人认为，数学的高度形式化，以及一些约定、还有一些可真可假的命题的存在，使得数学丧失了真理性，也就是说，不承认数学是真理，如果不承认数学是真理的话，有一个尴尬的处境，那就是，如果数学不是真理，那么由数学推导所得出的结论，还能是真理吗？显然不行。
所以呢，我觉得，数学还是具有真理性的，也就是说，我们得承认数学是真理。
第二个问题，如何判断数学是不是真理？
其实，第一个问题解决了，这个问题，就多余了，但是也有人提出这个问题，所以这里简单说一下。对于数学的真理性的判断，一般而言，有两派观点。
一派认为实践是判断数学是不是真理的标准，另外一派认为逻辑是判断数学是不是真理的标准，两种说法都有道理，但是我倾向于第二点。只要符合逻辑，数学就是真理。说到这里了，我们就说个数学的特殊特征：那就是数学永远是真的。如果有哪天，你发现数学错了，那么不是数学错了，而是你把数学用错地方了！
就好像一把菜刀，菜刀永远没错，你用来菜刀切菜，很好，菜刀可以很好的完成任务，如果你用菜刀来上网，你会发现，菜刀不能用来登录qq，也不能浏览网页。你说能怪菜刀么？？？不能，菜刀没错，错的是你用错了地方，如果你非要用菜刀上网，别人也没法子啊！
数学也是这样的，我们用自然数来数苹果，一般没问题，一个两个三个，再加三个就是六个，用来计算水的质量、体积也可以，2斤水加上5斤水，就是7斤，3升水加上6升水，就是9升水，也没问题，可以这样算。但是如果是1升水加1升酒精，合起来是2升吗？1+1=2，没错啊！1+1=2没错，但是不能用到这个地方。
其实，严格的来说，就像哲学一样，如果只有数学，那么数学不能解决任何实际问题，我们应用数学，都有一定的条件的，其实，那些附加条件，不仅仅是数学，更是一些生活经验，大家还记得那个公理化模式么？我们的数学，其实就相当于公理化系统，要是想应用数学，还得需要一个解释系统，与生活实际联系起来，我们为什么能够用自然数来数苹果？为什么？谁知道理论依据？
在小学有一个计数原理，大家听说过吗？不过大家都会用，计数原理，就把数数行为和自然数联系起来，正因为有计数原理作保证，我们才可以用自然数来数苹果、数糖块。计数原理，主要是说，我们数东西的时候，要一个一个的数，不能重复，也布恩那个漏掉，从1数起，数一个东西，数九加一，数到最后一个物体，对应的自然数就是所有物体的数量。

不是结束的结束，数学哲学讲座到此结束。