数学哲学讲座
幻影思维学群（166302011）2013年2月20日晚7：00

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关于几何
玄易居士
我们今天先考验下大家对形式化的领会程度以及想象能力，我们在几何中，学过点和直线，可是点和直线究竟是什么，我们能不能真正的区分点和直线呢？大家说，点和直线究竟有没有区别？
哈巴金
点连成线，形态不一样。
晴
点是点，直线是直线，点能构成直线
玄易居士
为了简单起见，就讨论一个平面上的点和直线吧，琉璃，你说点和直线，究竟有没有区别，晴，你也讨论讨论。
哈巴金
直观形态不一样
玄易居士
那你们意思是点和直线是截然不同的了？
晴
不是吧，点能构成直线
玄易居士
我今天就手把手教给大家，怎么建立一套新的几何学体系，只要大家肯参加讨论，我敢保证，今天讲的，绝对比前12次加起来还精彩。因为今天讲的，既能让大家明白，有有新意，超乎大家意料。
今天就讨论初中几何，最起码什么是点，什么是直线应该知道吧。
哈巴金
几个点可以构成一条线，也可以是平面
玄易居士
琉璃，你说，点和直线，究竟是什么区别，他们的本质区别是什么，区分点和直线的标准是什么？
哈巴金
没什么区别
皇影战神
点动成线，线动成面
玄易居士
那就是点和直线没区别？
哈巴金
线是由点构成的，就是 形态上 长的不一样，是相关联的。
玄易居士
先不讨论面，我们讨论同一个面上的点和直线，这样说，是形象的来描述，在数学上，是不严格的。我觉得吧，点和直线，没什么本质区别，是完全可以互换的。战神说说你的观点，那也是很形象的描述。
皇影战神
点指有位置而没有长、宽、厚的图形，点的集合就是线，不形象的不好说呀。
玄易居士
嗯，我想提个问题，你们有没有想过，保持点和直线的形态不变，还是保持点和直线的形象，但是，在几何学的那些定理中，我们把点和直线互换一下，比方说，你们说点的集合就是线，我们能不能说，直线的集合就是点。我曾经考虑过，保持点和直线的形态不变，但是，把点和直线的位置互换一下，我们的几何学会变成另外一种形态，但是，在逻辑上可能没矛盾。
比如，我们说：两点确定一条直线，点和直线交换，就是：两条直线确定一个点，一条直线上有无数个点。两条直线相交，不正好确定一个点么。我们说，一条直线上有无数个点，也可以说，一个点上有无数条直线。过一个点，在不同方向上，就有许多的直线的
皇影战神
这里还行的通，但是感觉着这还是在前理论基础上
玄易居士
是可以解释的，包括非欧几何，也可以在欧式几何中找到合适的解释，点和直线互换了，大家说，线段应该对应什么呢？直线换乘点，点变成直线，那么线段会变成什么样子呢？为了区分，我们把普通的正常的几何理论，称之为o理论，把点和直线交换之后的理论，就称为f理论吧。o理论中的点，就是f理论中的直线，o理论中的直线，就是f理论中的点，o理论中的线段，在f理论中，是什么呢？大家看看线段是怎么定义的，线段是直线上两点间的部分。
哈巴金
直线两点和他们之间的部分叫线段
玄易居士
嗯，那么对应到f几何中，会是什么呢，把点换成直线，把直线换成点，在f理论中，就是点上两条直线之间的部分，聊天直线之间的部分，那是什么，就是角，当然，有四个角，其实只能算两个角，因为对顶角是完全相等的，所以呢，两条直线，就把一个点分为两部分，在o几何中，两个点把一条直线分为三个部分，如何对应呢？大家想想，怎么解决这个矛盾。
我们可以将直线像两个方向的延伸，看做他们在无穷远处合二为一，这样的话，用两个点，将一条直线分为两个部分，能想象的出来么？想象一下，一条直线，它向两个方向无限延伸，延伸……终于，某个时候，对头了，成为一个环，用两个点去截断，就会得到两个部分，对应的点呢，一条直线，围绕这个点旋转，也会与自己重合，一个点，在直线上向一个方向运动，也会回到原来的位置。想象一下，是不是？
皇影战神
这算是一种情况吧，那永不闭合就是另一种了，在f理论中，就是点上两条直线之间的部分，两条直线之间的部分，那是什么，就是角。
玄易居士
因为点式闭合的，那么与之对应的直线，在遥远的远方，也是闭合的，对的。
皇影战神
这里的概念你又用原来的基础了
玄易居士
是两个互补的角，对，o理论，就可以解释f理论，我发现，越来越像黎曼几何了。
皇影战神
那这样只是换个角度认知。
玄易居士
还会有其他的变化的。那就是没有了平行线的概念。
皇影战神
难道是平行点了？
玄易居士
在o几何中，如果两条直线没有共同点，那么这两条直线是平行的，但是，在f理论中，我们不能说，如果两个点，没有共同的直线，就说这两个点平行，因为任何两个点，都会有一条直线，那么，平行就被否决了，也就是说，在f理论中，没有平行的概念，f理论中的任意两条直线，必然有一个交点，也可以认为是两个，其实，如果说是两个，那么着两种理论，对应的会更好。f理论中，任意两条直线，都会有两个交点。
大家想想一下两个球面，一个球面叫o，一个球面叫f，那么，我们把o中的直线对应f中的点，o中的点，对应f中的直线，这样想象的话，就会很完美的对应了。仔细想想，是不是？
线段的长度，就对应角的度数，我们的角，不是有360度的限制么，如果一条直线会闭合的话，那么直线的长度，也就是固定的了，想象一下，是不是？在o几何中，三条首尾相接的线段可以构成一个三角形，在f理论中，三个边相重合的角，也可以组成一个三角形，f理论中的边，就对应o理论中的角
f理论中的角，就对应f理论中的边。这种对应，能想象到么？
照这个思路发展下去，我怀疑可能会很像黎曼几何，就是球面几何，要是走上球面几何的路子，就没什么新意了。不过可以锻炼下空间想象能力、理论构架能力。

关于无穷
玄易居士
那我们先不讲几何了，讲算术，在代数中，有个无穷的概念，1、2、3、4……这样数下去，没完没了，直至无穷大，这个无穷大到底是多大呢，大家谈谈自己对无穷大的看法。
晴
据俺地理老师说，无穷大就是很大，很大到底是多大呢？老师说，很大就是很大很大，很大很大是多大，很大很大就是，你想去吧。老师就这样说得
玄易居士
其实呢，大家这样想，也对，复合正常的思维方式，但是呢，有句古话，叫做出奇制胜，如果我们换个思路，我们可以这么想，为什么一定要把无穷大想的很大很大很大呢
晴
因为无穷额
玄易居士
我们完全可以把所谓的无穷大，看做一个固定的数，比如，可以使10000，或者10000000，在远远小于我们设定的值的时候，我们的理论并会受到很大影响
晴
嗯，你说无穷大是100000000？
玄易居士
在讨论100以内的数的话，无穷大是100000000，并不会受到什么影响，你说对吗？
晴
好像也对哦，但如果，讨论1000000000000，以内的数呢？
玄易居士
讨论1000000000000的话，那我们的理论，就会的发生很大的变化，就好像相对论中，当速度远远低于光速的时候，牛顿理论是近似成立的，但是，当物体速度接近光速的时候，牛顿物理学，就变得不适用了。同样的道理，在讨论无穷大问题的时候，也是这样，如果我们讨论的问题，远远小于这个无穷大，那么，普通的数学理论还是成立的，但是，如果我们讨论的问题，接近这个无穷大的时候，理论就会发生很大的变化。这个能理解么
晴
嗯
玄易居士
好像这个是个创新，我给它取得名字叫“有限无穷分析”。基本思想就是，所谓的无穷大，在一定的理论系统中，就是一个固定的值，给大家转个关于无穷的故事，估计有人看过，设想有一个“无穷旅馆”，内设无穷个房间，每一个房间只能住一个客人，现在，这个旅馆已经客满。这时又来了一位客人想订房间。前台会说：‘没问题，我给你安排’。在又穷的旅馆里，一人一个房间的话，一旦住满了客人，再来了人，就无法安排入住了，但是在无穷的房间数的旅馆里，时虽然每个房间，都住了客人，但是，再来了客人，一样还是可以安排入住的。
这在有穷世界是没有解的事情，但在无穷世界里却完全可以做到：整个安排的过程是：只要把1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间，。。。，n号房间的客人搬，到（n+1）房间，。。。，这样，新来的客人就可以住进已被腾出的1号房间了。更有甚者，如果这时又来了一个拥有无穷位客人的旅行团，前台仍然会说：‘没问题，我给你安排’。于是，他就把1号房间的客人搬到2号房间，把2号房间的客人搬到4号房间……对于这个旅馆，能理解么。开这么个旅馆，赚钱赚大了。
这个旅馆，颠覆了我们的常识，那就是，一个注满客人的旅馆，居然还能安排人，大家想不想颠覆这个常识呢，晴，你觉得一个注满客人的旅馆，居然还能安排人，合理不合理？
我们要是换个思路，无穷大就是10000000，他住满了之后，要是想每个房间客人后移一位，1号到2号，2号到3号，好啊，没问题，但是10000000号想搬到10000001号，对不起，不能搬，这已经不属于您的旅馆了。虽然旅馆有无穷个房间，但是，无穷大已经被限制在10000000以内了，这样的话，一个注满旅客的房间，是不能在安排其他客人的，对于这个有限制的无穷大，我倒是考虑了很久，觉得有发展前途。很久以前，我就想系统的写下来，但是比较懒，一直也没写，这个观点在我的数学哲学中有一定的论述，5、9有限无穷初探，说的就是这个思想，前面提到的那个点和直线互换概念，也很好玩，但是于这个相比，但是我不知道发展到最后，会是什么样子，但是直觉告诉我，有限无穷理论，还是有发展前途的，几何学的纯形式公理系统已经相当发达，或许早有人论述过点和直线互换的情形，就算没论述过，我觉得，也会有相关模型，可以合理的解释这个问题，对于有限无穷，可以从自然数理论起开始构造一个新的理论系统，数系扩张、自然数到有理数、到实数，还有虚数，标准分析，也就是微积分那一块，还可以扩展到非标准分析。如果接受了有限无穷的思想，那么会有一个新的变化，那就是数学，也不是精确地，0，不是0，a：1+1=2，b：3-1=2，a中的2和b中的2，也不是完全相同的，当然了，这些不同，必须在更高级的理论系统中才能看得出来，更高级的理论系统对低级理论系统而言，就像是一个望远镜+显微镜。在低级理论系统中看不到的远方，在高级系统中可以看得出来，在低级系统中看着没东西的0，在高级理论系统“显微镜”的作用下，会看到，其实所谓0并不是0，在低级系统中看起来1和1是一样的，但是在高级理论系统中“显微镜”的作用下，两个1并不完全相同，所以他们相减，并非完全等于0。
这个是不是不好理解，9点了，今天就讲这些吧。

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