数学哲学讲座
幻影思维学群（166302011）2013年2月19日晚7：00

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人们常说：“数学是思维的体操，思维是智力的核心。”培养学生的思维能力是小学数学教学的重要任务之一．在教学过程中．教师要有意识地培养学生的思维品质。思维的积极性、深刻性、灵活性、求异性、创造性等是发散思维的特性．在教学中教师要有意识地抓住这些特性进行训练与培养。
玄易居士
前天已经讲了开放模式，昨天讲了数学的根本属性是它能够减轻人类的思维负担，那都是做铺垫的，今天讲的是数学的对象以及数学的本质。
刚想起来，讲之前先讲点别的，……
我想说的是，我们的逻辑是相当可靠的，一个著名数学家、逻辑学家，哥德尔，证明了哥德尔完备性定理，这个定理，通俗的说，就是我们的逻辑，是完备的，可以解决我们的一切问题，我们可以通过逻辑推理，解决我们所遇到的一切问题，当然了，严格的逻辑意义，不是这么说的，但是，我们可以近似这么理解，哥德尔之所以出名，名不是因为哥德尔完备性定理，而是因为哥德尔不完备性定理，哥德尔不完备性定理是关于数学的。这个定理说，我们的数学理论，如果包含自然数的话，那么这个理论，就是不完备的，通俗的说，我们的数学理论，无论怎么发展，怎么完善，都会有无法解决的问题出现，也就是说，在我们的数学理论体系中，总会存在这么一些命题，我们无法证明她是正确的，但是也无法证明她是错误的。无论我们把这些命题当成正确的命题，或者是错误的命题，都没事，所以有人就把一些命题当成真命题或者假命题，就会产生一种新的数学理论系统，但是这个新的数学理论系统，依然是不完备的，依然会产生一些不渴判定的命题，我们依然可以把这些命题当成真命题或者假命题从而形成一个新的数学理论系统，但是，这个新的理论系统，还是不完备的，然后……
这样的话，就没完没了了，虽然数学家致力于一劳永逸的构建一个数学大厦，使得这个数学大厦可以完美的解决一切数学问题，哥德尔不完全性定理，就把他们的梦想给打破了。从另外一个角度上讲，也未必是坏事，这说明数学具有无限的生命力，无论到什么时候，无论别人研究的多么高深，总有无法解决的问题，这个问题，就由你来解决了，那你就有可能是一个伟大的数学家，从这个哥德尔不完全性定理来看，就算世界上有70人口，每个人都是数学家的话，完全了可以出现70亿个不完全相同的数学理论。
回来原来的，继续说我们的数学的研究对象，我们说，数学根本属性在于能够减轻人类的思维负担，那么人们思维的对象就是数学的研究对象，这是广义的数学研究对象，是指所有数学应用所涉及的对象。比如，我们掰着手指头数数的时候，手指头就是我们的研究对象，我们提着篮子数苹果的时候，苹果就是我们的研究对象，这样的话，几乎所有的一切，都是包含在广义的数学对象之中。
与广义的数学对象相对应，是狭义的数学对象，狭义的数学对象，是指指数学理论所涉及的概念，命题等等。比如，我们无论是数手指头还是数苹果，用到的都是1、2、3……去掉那些实体的东西，只留下个数的形式，这个就是形式化。
一般而言，我们说数学对象的时候，是指狭义的数学对象，广义的数学对象和狭义的数学对象，在开放模式中，分别对应外对象和内对象，无论是广义的数学对象还是狭义数学对象，都是各管世界直接或者间接在人脑中的反映，是反映在人脑中的一种思维形式。
所以我认为数学的研究对象，就是思维形式。
对于数学研究对象，不同时期不同的人，有着不同的理解，最通俗的理解是，数学史研究数和形的。数很好理解，就是我们通常说说的自然数、有理数、无理数等等，形也很好理解，就是点、直线曲线三角形四面体等等，这就是最广泛的数学对象的理解，也是大家最容易接受的一种理解一种说法。
我们平时所学的，就是代数、几何，所以，这么理解也行，但是呢，有数学家就不这么理解了，在近代数学中出现了很多非数非形的东西，比如，伽罗瓦的群理论，研究的既不是数，也不是形，而是群、环、域等。我们的实数理论，就是域的一个例子，群、环、域，就是所谓的结构。更玄乎的是，数学中有个范畴论，我也只是听说，不清楚究竟是什么玩意。由于群环域等结构的出现，人们也把自然数理论、实数理论等归结为一种结构，所以，就有人提出，数学的研究对象，就是“结构”
还有人有不同的看法，不是把数的理论归结为结构，而是把数的概念扩大化，认为结构也同数一样，是一种特殊的“量”，点、直线、等，也算一种特殊的两，因此认为数学研究的是“量”。
我这里认为呢，无论是数也罢，形也罢，或者结构，广义的“量”，都是一种思维形式，因此，数学的研究对象，应该是思维形式，这也和数学能够减轻人类的思维负担想统一起来。研究思维形式，减轻思维负担，我们知道，世上一切事物，都是相互联系的，我们的研究对象，数学的广义对象和狭义对象也是相互联系的。
我们知道，人类的思维具有抽象性，而且这种抽象还具有层次性，由于人们思维的抽象性、抽象的层次性，决定了我们 的思维形式，也就是数学对象，也具备相应的层次性，而且，同一层次的数学对象、不同层次的数学对象之间，也会或多或少的保持着原有的联系，抽象的层次性，是很有用的，正是由于这种层次性，数学才能更好的减轻人们的思维负担。
我在网上看过一段话，叫什么以少奴多，怎样学最少的东西获得最好的效果，也就是说同样多的内容怎样用最少的知识来加以概括。我认为有两点：一个方法实际上是可以解决多种问题的，小方法包含在大方法中，大方法又包含在更大的方法中，掌握一个大方法等于掌握了好多个小方法。
我给他的答案是：提高知识系统的抽象层次，就可以高效地解决这个问题。如果抽象不出更高层次的知识系统，以思想驾驭方法，以思想统领知识，也可以有效地以少奴多。
    我们的知识系统，就是按照一定的抽象层次，形成一个金字塔结构，掌握了制高点，就等于整我了整个知识系统，掌握了制高点，就等于掌握了整个知识系统。
    讲完了数学的研究对象，我们就可以探讨数学的本质了，数学的研究对象是思维形式，而一切事物都要以一定的思维形式反映于人脑中，因此，人类思维的范围有多大，数学的应用范围也就有多大。
我们上面讲，人类的思维，具备抽象性，而且抽象还具备层次性，不同的领域内，抽象的层次是不同的，数量、形的方面，数学抽象性的层次很高。如，我们将一个苹果两个梨三个柿子，抽象为1、2、3，数学家又将一二三进行进一步的抽象，形成了各式各样的自然数理论。如有皮亚诺的公理化体系，还有好多种定义自然数的抽象形式化理论。
这里的自然数的三个层次，其实就是前面讲过的，公理化的三个层次，一是实质公理化，二是形式公理化，三是纯形式公理化，是自然数理论。
在几何领域内，也是这样的，欧几里得几何是一般的几何理论，欧几里得几何是通过观察实践中所获取的知识，而非欧几里得几何学，则是抽象的“人为创造的”几何学理论。
还有一些领域，数学化层次很低，举几个例子吧，在物理学中，我们大量使用了数学工具，了初等数学的内容，我们还是用了微积分等高等数学的知识，在相对论中甚至还使用了非欧几何中的黎曼几何。现代物理学中还出现了纯形式化的公理化物理学理论。如，刚体物理学，我初三时看见公理化，就是在刚体物理学中见到的（当时还在概率论中看到了公理化），间太久了，不记得内容是什么了。
总之呢，当代物理学的数学化程度是很高的，稍次一点，在化学中，我们也使用了一些数学知识，但是一数学相比，化学中所用的计算，那是小巫见大巫了。次的，在生物学中，数学知识用到的更少了。当然，也或许是我们当初没学生物，理解领会的不深刻，正我觉得，物理化学生物，用到的数学知识，越来越少。
在其他的一些领域中，数学可能用的更少，比如，在历史中，数学就用的不多，在哲学中，数学用的也不多，至少比起物理化学，历史、哲学等科目中，数学几乎算是没怎么用。
这就是说，但在不同的领域内，数学发展阶段不同，即数学化程度不同。
我们前面说，数学研究的是思维形式，一切事物，又会以一定的思维形式反映于人脑中，那么，这就说明，无论什么内容，都会使用了数学，那么为什么我们觉得在历史、哲学等人文科学中，几乎没用到数学呢？觉得吧，不是没用到数学，而是由于，在哲学、历史等个人文科学领域，数学的发展仅处于非常低级的初级阶段，句话说，适用于物理的数学，已经发展到了很成熟的高级阶段，而适用于历史的“数学”，仅仅处于我们我发擦觉得低级阶段，学在不同的发展阶段表现形态是不同的。在低级阶段，往往感觉不到数学的存在，仅是潜意识的应用而已。
潜意识阶段更进一步发展，就到了数学的初级阶段，在我们的开放模式中 ，数学的初级阶段表现为外对象、外体系和外形式，比如，我们数手指、数苹果，算是初级阶段。
再进一步的发展，数学就表现为内对象、内体系，比如，去掉了苹果梨等属性的1、2、3自然数，就是内对象、内体系，是数学发展的中级阶段。
但是呢，数学最根本的灵魂，是内形式，已经高度抽象的数学狭义对象，在进一步抽象为纯形式化数学理论，才是数学理论的最高级形态。
这里讲的低级、初级、中级、高级阶段和我文章上写的，不怎么相同，但是层次是一样的。将这些的意思是说，在数学的不同发展阶段，数学的表现形式的。
综合前两天和前面所讲的，数学是研究思维形式的科学，其根本属性在于它能够减轻人类的思维负担，其表现形态是多样的，这才是正确，全面的数学观。今天讲的就是数学哲学的核心内容。

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