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教育的精髓不在于同，而在于异。
——玄易居士
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数学学习经验谈
作者：玄易居士 发表时间：2019-03-07 09:04:18 更新时间：2019-03-07 09:04:18
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【关键词】
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数学学习经验谈
阅读十年QQ群联合实时在线直播公益讲座
2013年第24期（总第74期）
主题：数学学习经验谈
主讲人：玄易居士
时间：2013年4月18日（周四）下午1:00-3:00 主办群：阅读十年*公益讲座群（220823772）
玄易居士简介：
我是一个思维爱好者，喜欢研究思维。数学一向被称为思维的体操，所以，数学是我的最爱。这次分享的内容，是我根据自己对数学的理解，对上学时的学习经验进行整理而成的。我认为数学学习，最重要的是培养思维能力，这次分享就是以此为中心，对如何学数学展开分析。
特聘*玄易居士:
下面我开始讲吧，先发一张图，
我觉得，数学学习最重要的是培养思维能力。一般认为，数学培养逻辑推理能力、空间想象能力以及计算能力，这是比较成熟的观点，我呢就不说这些了，我是从三个维度来分析，属于个人见解，跟各位朋友分享交流。
我认为，思维能力在数学学习中包含三个方面的因素：数学知识、数学思想、数学方法。下面举个例子进行说明：
小明去超市买一瓶可乐，付给收银员5元钱，收银员找回2元钱，请问这瓶可乐多少钱。
解：设一瓶可乐x元，根据题意列方程
5-x=2
解得 x=3
答：一瓶可乐了3元钱。
在这个例题中，数学知识就是指的自然数、自然数的加减法运算、未知数、方程等理论知识，数学方法就是指的列方程的方法、解方程的方法。对于知识和方法，还是比较好理解的，数学思想，在这个题中就是指的应用方程解决问题的这种意识。看到这个例题，我们可以直接列算式：5-3=2，可以直接得到答案，也可以像上面一样列方程来，使用方程来解决问题，这就是不同的思想意识。通俗的讲，数学思想，就是应用XX解决问题的一种意识。
下面详细的讲一下这三方面的内容：
1、数学知识
先说数学知识，数学知识和数学思想、数学方法是一体的，其中数学知识是后两者载体，没有数学知识就谈不上数学思想和数学方法。
在中小学数学中，数学知识主要包括四大部分：算术、几何、代数、解析几何，当然，还包括逻辑初步、概率等其它方面的知识。
1.1 算术
算术，顾名思义，“算数”的技术，第一是重要的是计算能力，第二是应用数的计算来解决实际问题，也就是（解）应用题的能力，解应用题，既是难点也是重点，值得所有家长朋友注意。关于什么是算术，我在百度百科上查了一些资料，供大家参考：
算术算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分。它研究数的性质及其运算。把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学——算术。在古代全部数学就叫做算术，现代的代数学、数论等最初就是由算术发展起来的。后来，算学、数学的概念出现了，它代替了算术的含义，包括了全部数学，算术就变成了一个分支了。
1.2 代数
下面说代数，通俗的讲，代数就是字母代替数，百度百科上还是看百度百科的介绍：
代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。 初等代数是更古老的算术的推广和发展。
初等代数
初等的代数运算
基本内容
三种数——有理数、无理数、复数
三种式——整式、分式、根式
中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。
初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容，但又不完全相同。比如，严格的说，数的概念、排列和组合应归入算术的内容；函数是分析数学的内容；不等式的解法有点像解方程的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学的范围；坐标法是研究解析几何的……。这些都只是历史上形成的一种编排方法。
初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的运算。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。
1.3几何
第三部分是几何，几何，最重要的就是空间想象能力、逻辑推理能力，百度百科上介绍：
几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。
平面与立体
最早的几何学当属 平面几何。平面几何就是研究平面上的点、直线和二次曲线（即圆锥曲线，就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度）。平面几何采用了公理化方法，在数学思想史上具有重要的意义。
平面几何的内容也很自然地过渡到了三维空间的立体几何。为了计算体积和面积问题，人们实际上已经开始涉及微积分的最初概念。
1.4解析几何
第四部分就是解析几何，解析几何，是数形结合的思想应用的极致，依然看百度百科：
解析几何 包括平面解析几何 和立体解析几何两部分。平面解析 几何通过平面直角 坐标系，建立点与实数 对之间的一一对应关系，以及曲线与方程 之间的一一对应关系，运用代数 方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。17世纪以来，由于航海 、天文 、力学 、经济 、军事 、生产 的发展，以及初等几何和初等代数 的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学 的各个分支。在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学 发展史上的一次重大突破。
以上主要是为了使大家对中小学数学有个大致的了解，估计各位也都学过，应该不是什么问题。我认为，对于数学知识的学习，重点注意：深刻理解并形成知识网络，以便提纲挈领
2 数学思想
前面说，数学知识是载体，只是个载体而已，数学的灵魂，就是数学思想，没有数学思想的数学知识，就好像一个人没有灵魂，所以我认为，数学学习的核心，（就是）对数学思想的领会。
根据个人经验，我讲数学思想分为三类：
2.1 基础的数学思想
一类是比较重要的基础的数学思想，比如：函数的思想、方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想，或许还有其他比较重要的数学思想。这部分内容分，使我们必须学习的，而且要深刻掌握的，为了更好的理解什么是数学思想，请大家看看什么是方程的思想：
方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。
我们讲座的重点在于理清数学知识、数学思想、数学方法的关系，以及如何学习，所以，对于具体的知识、思想、方法，不做详细讲解。
2.2扩展的数学思想
除了基础的数学思想，与之相对的，还有一些不常用的数学思想，比如：
符号思想，映射思想，化归思想，分解思想，转换思想，参数思想，归纳思想，类比思想，演绎思想和模型思想。
当然了，常用不常用，基础不基础，分类也没什么精确的标准。
对于不常用的数学思想，在百度上搜了下化归思想的具体内容：
化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。
2.3 独特的数学思想
第三类，独特的思想，所谓独特的思想，就是自己去感悟一些数学思想方法，这个我就不举例子了，我也想不出来什么例子，对于独特的思想，源于一个想法：
知识、思想与方法，是三位一体的，每一个概念，都蕴含着一定的思想、方法。
数学思想，最重要的是领会数学思想的本质，并能灵活使用，不要拘泥形式限制。在数学学习中，至少要领会透最基本的数学思想，方程的思想、函数的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等
对于不常用的数学思想，根据个人情况，能多掌握一些就多掌握一些
至于感悟一些独特的数学思想，创造性的去感悟以前不存在的思想方法，那就是可遇而不可求了，如果能够感悟发现重大的数学思想方法，创立一个新的数学分支，那你就成为了一个数学家，甚至一个伟大的数学家，比如笛卡尔、牛顿等伟大的数学家，都创立了新的数学理论
3 数学方法
有了数学知识，领悟了数学思想，要解决实际问题，还需要具体的数学方法，数学知识是载体，数学思想是灵魂，数学方法，则体现了功能作用。我根据自己的理解，将数学方法（或者称为技能），分为四类
3.1 机械操作类
第一类是机械操作类，比如自然数的加减法法则：
1.相同数位对齐；
2.从低位算起；
3.加法中满几十就向前一位进几；减法中不够减时，就从前一位退，退几当几十。
再比如解一元一次方程的步骤。一般解法：
1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；
2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；(记住如括号外有减号的话一定要变号）
3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号
4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；
5.系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.
这类数学方法、技能，都有固定的方法步骤，按一定的步骤，细心一些，就不会出错。一定要熟练，做到熟能生巧。没有多大思维压力，就是机械的操作，但是是进一步学习数学的基础，必须熟练掌握，最好做到熟能生巧。另外一方面，也不要过度练习，比如38+47，1秒给出答案，0.8秒给出答案，区别已经不大，没必要再去追求0.5秒就作出来。
3.2 类方程类
第二类是类方程类，自己去的名字，或许不那么好懂，举个例子说明：
2+3 = 得出结果为5 ，如果知道3和5，求2的过程5-3=2，或者用方程表示x+3=5，求x，我们更广泛的看待这个问题，如果知道结果，和部分条件，求解其它条件。就类似于知道结果5和部分条件一个加数3，求另外一个条件加数2的方法，这里称之为类方程类问题。也就是说，知道结论和部分条件，求知另外一部分条件的这种类型，称之为类方程类
上海菁爸04-12g(23*******9)14::
孤立法？
上海菁爸04-12g(23*******9)14::
N个条件，限制N-1个条件，求第N个条件
特聘*玄易居士:
这部分方法，主要是逻辑推理能力，倒推法，执果索因。嗯，差不多的意思
南昌思哆睿绘本(17******1)14::
再插一下，乔治波利亚关于这方面的书也比较详细，一会意犹未尽的家长可以找来
特聘*玄易居士:
给大家出个题，过后自己去领会，谢谢南昌思哆睿绘本。抽取电影票的问题，有60本书，最后一本书中夹着一张电影票，每个人每次至少取一本书，最多取八本书，如果你先取，怎么决策才可以拿到夹电影票的那本书，两个人轮流取书。决策问题，想要最终结果：自己取到票，如何取票，就是过程条件。
3.3 寻求思路类
好了，跳过，第三类就是寻求思路类，这一类方法，主要是灵活的运用知识网络，理清关系，逐步推理。
怎么解题不是讲座的中心，讲座的中心是使得大家理解数学知识、数学思想、数学方法的基本内容，还有他们之间的关系，以及在数学学习中应注意的问题。
对于寻求思路类的方法，我在另外一个群见过一个逻辑推理题，群里很多朋友见过，这里发出来，供大家娱乐娱乐：
有5栋5种颜色的房子
1. 有5栋5种颜色的房子
2. 每一位房子的主人国籍都不同
3. 这5个人每人只喝一个牌子的饮料, 只抽一个牌子的香烟, 只养一种宠物
4. 没有人有相同的宠物, 抽相同牌子的香烟, 喝相同的饮料
这是大环境，前提条件
已知:
1. 英国人住在红房子里
2. 瑞典人养了一条狗
3. 丹麦人喝茶
4. 绿房子在白房子左边
5. 绿房子主人喝咖啡
6. 抽PALL MALL烟的人养了一只鸟
7. 黄房子主人抽DUNHILL烟
8. 住在中间那间房子的人喝牛奶
9. 挪威人住在第一间房子
10. 抽混合烟的人住在养猫人的旁边
11. 养马人住在DUNHILL烟的人旁边
12. 抽BLUE MASTER烟的人喝啤酒
13. 德国人抽PRINCE烟
14. 挪威人住在蓝房子旁边
15. 抽混合烟的人的邻居喝矿泉水
这是具体条件
问题是: 谁养鱼?
直接复制的网上的，没仔细核实，希望没有错误。这个就是一个典型的寻求思路类的问题，对于这类问题，在几何中常见，几何证明，基本上都属于这类，解决方法就是要依靠对知识网络的熟悉程度，找到最佳思路。打个比方，就好像一只蜘蛛，可以沿着蜘蛛网上最近的路线，扑向撞网的猎物，当我们对数学知识网络达到一定的熟练程度，也可以做到的。但是如果我们学习的数学知识没有形成一个知识网络，而是割裂的互不联系一个个知识孤岛，那就完了，做这样的题，很难。
3.4 应用题类
第四类，就是应用题。应用题，主要是把实际问题转化为数学问题，解出结果，再把数学结论转化为实际问题的答案。继续使用刚开始的那个例题：
小明去超市买一瓶可乐，付给收银员5元钱，收银员找回2元钱，请问这瓶可乐多少钱。
解：设一瓶可乐x元，根据题意列方程
5-x=2
解得 x=3
答：一瓶可乐了3元钱。
在这个题中，首先将实际问题转化为数学问题，是通过列方程转化的，通过转化，会得到一个方程，然后是解方程，解方程第一类方法，机械操作，没什么难度，然后把数学结果x=3，在转化为应用题的答案，在这里面，对方法而言，最难的就是列方程。对数学思想而言，最怕的是不知道用方程去解这个问题，也就是说，根本没有用方程解决问题的意识，应用题，就是数学知识、数学思想、数学方法的综合运用了，应用题的关键，就是将实际问题转化为数学问题。
我们的讲座主要是针对小学生家长的，所以在强调一遍，小学数学中，应用题非常的重要，是锻炼逻辑思维能力的最佳场所，如果应用题学好了，到了中学之后，学物理，会简单许多。其实很多数学应用题，就是后来要学习的物理题，比如行程问题，就是物理中的运动问题。
数学知识是载体，我们要做到“知”；数学思想是灵魂，我们要做到“懂”；数学方法是功能，我们要做到“会”。在做到知、懂、会的基础上，尽可能的做到熟能生巧。知、懂、会是一个层次，熟能生巧又是另外一种层次，我感觉，在熟能生巧之后，还有一个层次，一个可遇而不可求的：出神入化。说的是数学的学习程度，这样的话，一共有三个层次，一般人只要认真学习，就能做到知、懂、会，只要刻苦努力，愿意付出，做到熟能生巧也不难，要想比熟能生巧更好，做到出神入化，那就看个人悟性了，这个层次存在么？就当一个目标来实现吧。
4、深刻理解
下面再说说上面图中的两条腿，也是比较好操作的一部分内容。
我觉得，对于数学知识与数学思想的学习，是需要时间沉淀的，在数学学习中，为了增加这个“沉淀”的时间，需要超前预习、延后复习。
4.1超前预习
对于超前预习，是有争议的。超前预习，注意是重点是领会思想意识，了解一些方法，而非刻意追求知识的积累，对于一些具体的方法实现过程，到时候在学习也不晚。我在别的群看到一个家长说自己的孩子，一个小朋友不足六周岁就会解含有分数运算的一元一次方程，对这个好坏不好评价，不知道有没有其它措施跟进。
南昌思哆睿绘本(17*******1)
有很多小孩很早就会运算规则，但对于元素本身的理解却完全没有，基本上一到涉及多元思想的时候，就开始厌学了
特聘*玄易居士:
我个人觉得，初中以后，提前一年接触将来要学习的知识，还是没问题的，但是一定要注意，提前预习，并不是要记住什么，也不是要会什么，而是形成一个蓝图，知道将来有那么回事，知道自己现在所处的位置。
阅读十年*静爸02(80******0)
大体知道整体纲要就行啦
特聘*玄易居士:
提前预习，一定不要陷入具体的知识具体的方法的泥潭之中。
4.2 延后复习
第二，延后复习，比超前预习还要重要得多。就是说，我们复习的时候，不要局限于我们将要考试的内容，而是尽最大可能复习以前学过的所有内容，加深对基本思想的领悟，
阅读十年*静爸02(8*******0) 14::
融会贯通
特聘*玄易居士:
1、新的理解，对旧的概念产生新的理解，旧概念，新内涵，争取更深刻的理解领会。
2、逻辑网络，新旧知识融合，形成知识结构网络，形成一个交结的知识网，而不是孤立的知识点，一个个的孤岛没有战斗力的。
3、一题多解（多角度，加强知识点之间的联系）当前知识点能解的题，也要想想假如没学现在的知识，用以前的知识如何解决，另外还可以尝试的着想一下，用将来的知识能否解决。我们前面不是已经超前预习了么，这里就可以尝试一下，能不能有新思路。
4.3 学点现代数学思想
第三点，学点现代数学细想，比如自然数系统公理化，可以加深对自然数的理解。皮亚诺公理，自然数系统公理化，这个对于中学生来说，是可以理解的。我百度了下具体的内容，供各位参考。
皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
①0是自然数；
②每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，0的后继数是1，1的后继数是2等等）；
可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由 0, 1 构成的数字系统，其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：
③0不是任何自然数的后继数；
但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中3的后继是3。看来，我们设置的公理还不够严密。我们还得再加一条：
④如果b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；
最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。
⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数0是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。（这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性）
注：归纳公设可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。
若将只考虑正整数，则公理中的0要换成1。
这一部分，主要是深刻理解
5、培养兴趣
最后一大部分，培养兴趣，对于培养兴趣，我想了三方面的内容，大家可以再补充些其他的方法。
1、讲讲数学史、数学故事（比如关于数学事件、数学家、数学知识的故事）
高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是： 1+2+3+ ..... +97+98+99+100 = ? 老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要借口出去时，却被 高斯叫住了！！ 原来呀，高斯已经算出来了，小朋友你可知道他是如何算的吗？ 高斯告诉大家他是如何算出的：把 1加 至 100 与 100 加至 1 排成两排相加，也就是说： 1+2+3+4+ ..... +96+97+98+99+100 100+99+98+97+96+ ..... +4+3+2+1 =101+101+101+ ..... +101+101+101+101 共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100 除以 2便得到答案等于 <5050> 从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了他以后的数学基础，更让他成为——数学天才！
讲讲数学史、数学故事（比如关于数学事件、数学家、数学知识的故事）可以增进对数学的热爱程度，如果孩子为此立志成为数学家，要在数学史上留下浓重的一笔的话，那爱好数学，肯定没的说。
2、趣味数学题
比如著名的七桥问题，七桥问题SevenBridges Problem18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
故事、问题溶于一体，一笔画，又具备可操作性，一般而言，孩子是喜欢这样的题的。
3、做点难题，比如奥数什么的，由易到难，逐步加深，做出来很有成就感，如果再配合故事，那就更能培养兴趣了。不要一下子把孩子给难住了。比如高斯小故事中的1+2+3+ ..... +97+98+99+100 = ?既有难题，还有故事。
深刻理解，培养兴趣，就是上面图中的两条腿
再发一个图，跟上面的图差不多
看到了么，中间有个人在站马步
南昌思哆睿绘本(17*******1) 14::
有很多小孩很早就会运算规则，但对于元素本身的理解却完全没有，基本上一到涉及多元思想的时候，就开始厌学了
特聘*玄易居士:
刚才南昌思哆睿绘本提到的问题，就是高度发展了一条胳膊的基础上，断了一条腿，失去了兴趣，就好像断了一条腿，得不偿失的，既要感兴趣，又要深刻理解，有了这两点，数学知识、数学思想、数学方法，就会用的越来越好。我变了一首打油诗，来总结一下今天的内容
瞻前顾后理解深，一题多法练习跟。一定做到知懂会，熟能生巧若有神。
今天就讲这些，谢谢各位。
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