思维学网——www.siweixue.com

1、运算
作者：玄易居士发表时间：2019-03-05 20:43:19 更新时间：2019-03-05 20:43:19

【摘要】
【关键词】

【】【】【】【】【】

1、运算

1、1　运算　代换

如果A形如R(a)∣→ b ,则称A为一个运算。a,b为元，a为运算元，b为结果元，R为运算法则，∣→ 为运算标志符号。一般来说，不同的运算，R,a,b,∣→ 是不同的，但却具有相同的形式，即形式R(a)∣→ b 的各部分是可能被其它元或法则或符号所代换的，代换后保持形式不变。若(a)为(a₁,a₂)所代换，则称R(a₁,a₂)∣→ b 为二元运算，同样，称R(a₁,a₂,a₃)∣→ b为三元运算，R(a₁,a₂, a₃,…,a_n)∣→ b称为n元运算。

逆运算
对于n元运算R(a₁,a₂, a₃,…,a_n)∣→       b , a_i与b互换位置得运算R^i-(a₁,a₂,a₃,…, b,…,a_n)∣→       a_i称为R(a₁,a₂,a₃,…,a_n)∣→       b的第i元逆运算，当i为1时，R^1- (b,a₂, a₃,…,a_n)∣→       a₁称为第1元逆运算；当i为n时，R^n- (a₁,a₂, a₃,…, b)∣→       a_n称为第n元逆运算。对n元运算R(a₁,a₂, a₃,…,a_n)∣→       b进行有限次求逆，包含自身在内，共可衍生运算 (n+1)! 个，结果元分别为a₁,a₂,a₃,…,a_n，b的各n!个。

1、3　运算性质
对二元运算R(a₁,a₂)∣→       b，可记作a₁Ra₂∣→       b   ，简称R。若a₁Ra₂∣→       b   ，则a₂Ra₁∣→       b   ，称该运算是可交换的，即R满足交换律。
若(a₁Ra₂)Ra₃∣→       b   ，则a₁R(a₂Ra₃)∣→       b   ,称R是可结合的，即运算R满足结合律。
若aRa∣→       a^2R，则称R为积幂的，即运算R满足积幂律；若aRa∣→       a，则称R为等幂的, 即运算R满足等幂律。
两个二元运算R₁R₂，若a₁R₁(a₂R₂a₃)∣→       b   ，则(a₁R₁a₂)R₂(a₁R₁a₃)∣→       b   ，称R₁对R₂是左分配的；若(a₂R₂a₃)R₁a₁∣→   b   ，则(a₂R₁a₁)R₂(a₃R₁a₁)∣→       b ,称R₁对R₂是右分配的。若R₁对R₂既是左分配的，又是右分配的，则称R₁对R₂是分配的，即运算R₁ R₂满足R₁对R₂的分配律。

1、4　函数　反函数
对于运算R(a)∣→        b，若关注于a与b在R规则下的对应性，从而在研究a变化时R(a)∣→        b的整体性质，则R(a)∣→        b称为函数，a称为自变量，R(a)与b称为因变量或函数。其本质上依然是运算。函数R(a)∣→        b研究的是R(a)∣→        b运算特性，而研究R(a)∣→        b的逆运算R^1- (b)∣→        a中b与a的对应特性的函数R^1-(b)∣→        a称为R(a)∣→        b的反函数。

1、5　命题　关系
对于运算R(a)∣→       b，若关注于a满足R(a)∣→        b，则称R(a)∣→        b为关于a的一个命题，可简记以A(a)。其本质上依然是运算。对于二元运算R(a₁,a₂)∣→        b ，关注于a₁,a₂满足R(a₁,a₂)∣→        b 时，称R(a₁,a₂)∣→        b 为关于a₁,a₂的一个二元关系，可简记作A(a₁,a₂)或a₁Aa₂，因此，命题也可称作关系。对于二元关系A(a₁,a₂)，若A(a₁,a₂)成立，则A(a₂,a₁)成立，则称关系A为交换的。
若，a₁Aa₂,a₂Aa₃则a₁Aa₃,则A称为传递的，若A(a₁,a₂)，则B(a₂,a₁)，且B(a₁,a₂)，则A(a₂,a₁)，则称A,B互为对称关系。
若二元关系A是可传递的，则其对称关系B也是可传递的。
若运算R(a₁,a₂)∣→        b 是可交换的，则对应的关系R(a₁,a₂)∣→        b 是可交换的若关系A是可传递的，又是可交换的，则称A为等价的，其对称关系亦为A

1、6表示定律
表示定律：思维中的任何事物可以用元表示，而事物的任何发展、变化、联系等性质特征可以用运算、函数、命题、关系来表示。